Learning spatial index

Tue, 17 Mar 2026 10:00:00 +0800

空间索引是数据库系统的核心组件。传统方法（R-tree, Hilbert 曲线）在高偏态分布和动态更新场景下面临秩值簇化和长尾延迟的挑战。本文提出三阶段的学习型空间索引方案。

1. DLHM：密度感知的 Hilbert 降维映射

1.1 问题定义

给定 $d$ 维空间数据集 $\mathcal{D} = \{\mathbf{p}_1, \dots, \mathbf{p}_N\}$，其中 $\mathbf{p}_i \in \mathbb{R}^d$（地理空间场景下通常 $d = 2$）。目标是将 $\mathcal{D}$ 映射到一维有序序列 $\pi: \mathcal{D} \to [0, M-1]$，使得空间邻近性在一维序列中得以保持：

$$ \mathbb{E}_{(\mathbf{p}_i, \mathbf{p}_j) \sim \mathcal{D}}\left[|\pi(\mathbf{p}_i) - \pi(\mathbf{p}_j)| \;\middle|\; \|\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_j\|_2 \leq \epsilon\right] \to \min $$

1.2 密度分布形式化模型

定义空间密度函数 $\rho(\mathbf{x})$ 为位置 $\mathbf{x}$ 处的局部数据密度。采用核密度估计（KDE）：

$$ \rho(\mathbf{x}) = \frac{1}{N h^d} \sum_{i=1}^{N} K\left(\frac{\|\mathbf{x} - \mathbf{p}_i\|}{h}\right) $$

其中 $K(\cdot)$ 为 Epanechnikov 核函数，$h$ 为带宽参数，按 Silverman 规则 $h = 1.06 \cdot \hat{\sigma} \cdot N^{-1/5}$ 确定。

Research on GYM

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1. DLHM：密度感知的 Hilbert 降维映射

1.1 问题定义

1.2 密度分布形式化模型